题目内容

己知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1= $数学公式$
（1）求a₂，a₃；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证{b_n} 是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求数列{a_n} 前100项中的所有偶数项的和S．

解：（Ⅰ）由题意可得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a₃=a₂-4= $\text{[math]}$ ，（4分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （6分）
∵ $\text{[math]}$ （9分）
∴数列{b_n}是等比数列，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （l0分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a_2n=b_n+2= $\text{[math]}$ （n=1，2，…50）（12分）
∴S=a₂+a₄+…+a₁₀₀=2×50 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =99+ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）直接把n=2，3代入数列递推公式即可求出a₂，a₃；
（2）由题意可得b_n+1=a_2n+2-2= $\text{[math]}$ a_2n+1+（2n+1）-2= $\text{[math]}$ a_2n-1= $\text{[math]}$ b_n，然后根据比数列来求数列{b_n}的通项公式；
（3）把数列{a_n}中的所有项都用数列{b_n}的通项表示出来，再采用分组求和法求其前100项的和即可．
点评：题主要考查数列递推关系式的应用以及数列求和的分组求和法，是对数列知识的综合考查，具有一定的综合性．