Question

已知抛物线C:, 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线。
⑴若抛物线C在点M的法线的斜率为 ，求点M的坐标；
⑵设P为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P。若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。

Answer 1

（1）（，）
（2）略

解：
⑴函数的导数，点处切线的斜率k0=
.∵过点的法线斜率为，∴（）=，解得，。
故点M的坐标为（，）。
⑵设M为C上一点，
若，则C上点M处的切线斜率k=0,
过点M的法线方程为，次法线过点P;
若，则过点M的法线方程为：。
若法线过点P，则，即。
若，则，从而，
代入得，。
若，与矛盾，若，则无解。
综上，当时，在C上有三点（，），（，）及，
在该点的法线通过点P，
法线方程分别为，，。
当时，在C上有一点，在该点的法线通过点P，法线方程为。