题目内容

如果一条直线和两个平面中的一个相交,那么它和另一个平面也相交.

已知:α∥β,l∩α=A.

求证:l与β相交.

答案:
解析:

  证明:∵α∥β,l∩α=A

  ∴Aβ.

  假设l与β不相交,则l∥β

  在平面β内任取一点D,则Dl

  ∴点D、l确定平面PBD,如图

  ∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC,

  β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.

  又α∥β∴AC与BD无公共点.

  ∵AC和BD都在平面PBD内,

  ∴AC∥BD.

  l∥β可知l∥BD.

  ∴AC∥ll与AC相交于A.

  ∴AC与l重合,又AC在平面α内.

  l在α内与l∩α=A矛盾.

  ∴假设不成立,

  l与β必相交.


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