题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（I）求证：数列 $数学公式$ 是等差数列；
（II）令b_n=a_na_n+1（n∈N^*），设数列{b_n}的前n项和为S_n，求使得 $数学公式$ 成立的n的最大值．

解：（I）由a_n= $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为1的等差数列
（II）由（I）知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴{b_n}的前n项和为： $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$
由题知1- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 解得n＜9所以n的最大值为8．
分析：（I）将条件a_n= $\text{[math]}$ 变形得 $\text{[math]}$ ，根据等差数列的定义可知数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；
（II）由（I）知求出 $\text{[math]}$ ，从而求出b_n，然后利用裂项求和法求出{b_n}的前n项和，根据 $\text{[math]}$ 建立不等式，解之即可求出n的最值范围，即可求出所求．
点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及利用裂项求和法进行求和，同时考查了不等式的解法，属于中档题．

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