题目内容
(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,.
(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;
(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在,求出的个数?如果不存在,请说明理由.
【答案】
(Ⅰ)直线过定点.;(Ⅱ)满足条件的等腰三角形有且只有一个.
【解析】(1)设出直线的方程,注意讨论斜率是否存在,与抛物线联立,利用,转化为坐标运算,数量积为0,找到直线中两个参数的关系,即找到直线过定点;(2)在(1)的条件下,
把用代换,求出中点的坐标,用表示,若存在以为底边的等腰三角形,也就是,整理得关于的方程,解方程就得到满足条件的三角形及其个数.
(Ⅰ)设直线的方程为,点、的坐标分别为.
由消,得.
由,得,.
∵,∴,∴.
∴,
∴或.
∴ 或,∵恒成立. ∴.
∴直线的方程为 ,∴直线过定点. ………………………………(6分)
(Ⅱ)假设存在以为底边的等腰三角形,由第(Ⅰ)问可知,将用代换得
直线的方程为.设点、的坐标分别为.
由消,得.
∴ .
∵的中点坐标为,即,
∵ , ∴的中点坐标为.
由已知得,即.
设,则,
在上是增函数.
又,在内有一个零点.
函数在上有且只有一个零点,即方程在上有唯一实根.
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.……………………………………………………… (13分)
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