题目内容

(本小题满分13分)

如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,

   (Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;

  (Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在,求出的个数?如果不存在,请说明理由.

 

【答案】

(Ⅰ)直线过定点.;(Ⅱ)满足条件的等腰三角形有且只有一个.

【解析】(1)设出直线的方程,注意讨论斜率是否存在,与抛物线联立,利用,转化为坐标运算,数量积为0,找到直线中两个参数的关系,即找到直线过定点;(2)在(1)的条件下,

代换,求出中点的坐标,用表示,若存在以为底边的等腰三角形,也就是,整理得关于的方程,解方程就得到满足条件的三角形及其个数.

(Ⅰ)设直线的方程为,点的坐标分别为.

,得.

,得,.

,∴,∴.

.

,∵恒成立. ∴.

∴直线的方程为  ,∴直线过定点. ………………………………(6分)

(Ⅱ)假设存在以为底边的等腰三角形,由第(Ⅰ)问可知,将代换得

直线的方程为.设点的坐标分别为.

,得.

  .

的中点坐标为,即

, ∴的中点坐标为.

由已知得,即. 

,则

上是增函数.

内有一个零点.

函数上有且只有一个零点,即方程上有唯一实根.

所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.……………………………………………………… (13分)

 

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