Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2-

3

bc=a2，且

b

a

=

2

，则∠C=

 

．

Answer 1

分析：根据余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入化简后得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数，进而求出sinA的值，又b比a的值，利用正弦定理得到sinB与sinA的比值，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数．

解答：解：因为b2+c2-

3

bc=a2，
所以根据余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，
由∠A∈（0，180°），得到∠A=30°，则sinA=

1

2

，
又

b

a

=

2

，根据正弦定理得：

b

a

=

sinB

sinA

=

2

，即sinB=

2

sinA=

2

2

，
由∠B∈（0，180°），得到∠B=45°或135°，
则∠C=15°或105°．
故答案为：15°或105°

点评：此题的突破点是利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值．本题的答案有两解，产生两解的原因是在（0，180°）范围内正弦值对应两个角，学生做题时容易遗漏解．