Question

6．已知函数f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（θ）=$\frac{5}{6}$，$θ∈（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}），求sin2θ$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由已知可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，根据θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），可得2θ$-\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），从而可求cos（2x-$\frac{π}{6}$）的值，利用两角和的正弦函数公式即可求得sin2θ=sin（2θ-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1
=-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
∴由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]（k∈Z）…4分
（2）∵f（θ）=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
∵θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），可得2θ$-\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），
∴cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2θ-\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2θ=sin（2θ-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（2x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$…10分

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．