Question

设向量

a

与

b

的夹角为θ，

a

=(3，3)，2

b

-

a

=(-1，1)，若直线2x-y-8=0沿向量

b

平移，所得直线过双曲线

x2

m2

-

y2

22

=1的右焦点，（i）cosθ=

3 10

10

；（ii）双曲线

x2

m

-

y2

22

=1的离心率e=

2 3

3

．

Answer 1

分析：（i）先设

b

=(x，y)，由已知可求x，y，代入向量的夹角公式可求
（ii）直线2x-y-8=0沿向量

b

平移即是把直线向右平移1个单位，向上平移2个单位，可求平移后的直线方程，令y=0可求焦点，结合双曲线的性质可求m，进而可求离心率

解答：解：（i）设

b

=(x，y)
∵2

b

-

a

=(2x-3，2y-3)=(-1，1)
∴x=1，y=2，

b

=(1，2)
cosθ =

1×3+2×3

1+4 • 9+9

=

3 10

10

（ii）∵直线2x-y-8=0沿向量

b

平移即是把直线向右平移1个单位，向上平移2个单位，所得直线y=2x-8
∵y=2x-8过双曲线

x2

m2

-

y2

22

=1的右焦点，则可得右焦点F（4，0）
∴m²+4=16，m²=12
∴双曲线

x2

m2

-

y2

22

=1的离心率e=

12+4

2 3

=

2 3

3

故答案为：

3 10

10

；

2 3

3

点评：本题主要考查了向量的坐标表示的应用，夹角公式的应用及双曲线性质的简单应用．