题目内容
【题目】已知椭圆C的离心率为 ,F1 , F2分别为椭圆的左右焦点,P为椭圆上任意一点,△PF1F2的周长为 ,直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C相交于A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l与圆x2+y2=1相切,过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线,与椭圆相交于M,N两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程;
(Ⅲ)若|AB|=2,试判断直线l与圆x2+y2=1的位置关系.
【答案】解:( I)设椭圆的方程为 ,由题可知 , 解得 ,所以椭圆C的方程为 .
( II)令 ,解得 ,所以|MN|=1,
直线l与圆x2+y2=1相切可得 ,即k2+1=m2 ,
联立直线与椭圆的方程,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0
所以
将k2+1=m2代入可得 .
当且仅当 ,即 时,等号成立,此时 .
所以,当 时,四边形MANB的面积具有最大值 ,直线l方程是 或 .
( III)
整理得 ,所以
设圆心到直线l的距离为d,则
设1+k2=t,t≥1,则k2=t﹣1,
所以
当 ,即 时,d2=1,
所以当 时,直线l与圆相切,当 ,时,直线l与圆相交
【解析】(Ⅰ)由题意列关于a,b,c的方程组,求解方程组可得a,b的值,则椭圆C的方程可求;(Ⅱ)由已知求出MN的长度,然后,由直线和圆相切得到m,k的关系,再联立直线方程和椭圆方程,求出A,B的横坐标,代入四边形面积公式,利用基本不等式求得最值,并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m,k的值,从而得到直线l的方程.(Ⅲ)由|AB|=2,得到m,k的关系,再用m,k表示圆心到直线l的距离d,求出d的取值范围即可.
【题目】甲、乙两人玩一种游戏,游戏规则如下:先将筹码放在如下表的正中间D处,投掷一枚质地均匀的硬币,若正面朝上,筹码向右移动一格;若反面朝上,筹码向左移动一格.
A | B | C | D | E | F | G |
30 | 5 | 10 | 10 | 5 | 20 | 30 |
(1)将硬币连续投掷三次,现约定:若筹码停在A或B或C或D处,则甲赢;否则,乙赢.问该约定对乙公平吗?请说明理由.
(2)设甲、乙两人各有100个积分,筹码停在D处,现约定: ①投掷一次硬币,甲付给乙10个积分;乙付给甲的积分数是,按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目;
②每次游戏筹码都连续走三步,之后重新回到起始位置D处.
你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利,请说明理由.