题目内容
5.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若BC=10m,AC=20m,∠BCM=45°,则tanθ的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)分析 如图由点P向BC作垂线,连结AG,则∠PAG=θ,求得∠ACB,表示出tanθ的表达式,利用二次函数的性质确定最大值.
解答 解:如图由点P向BC作垂线,连结AG,则∠PAG=θ,
∵BC=10,AC=20,
∴∠ACB=60°,
AG=$\sqrt{C{G}^{2}+A{C}^{2}-2AC•CG•cos∠ACB}$=$\sqrt{C{G}^{2}+400-20•AG}$,
tanθ=$\frac{PG}{AG}$=$\frac{CG}{AG}$=$\sqrt{\frac{C{G}^{2}}{C{G}^{2}+400-20•CG}}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{400}{C{G}^{2}}-\frac{20}{CG}+1}}$,
∴当$\frac{1}{CG}$=$\frac{20}{2×400}$,即CG=40时,tanθ取最大值,
此时tanθ=$\frac{1600}{400+1600-800}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
即tanθ的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故答案为:$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题主要考查解三角形问题的实际应用.解题的关键步骤是利用余弦定理表示出tanθ的表达式.
练习册系列答案
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成绩优秀 | |||
成绩不优势 | |||
合计 |