Question

在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m时P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为a_n，如排列21的逆序数a₁=1，排列321的逆序数a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并写出a_n的表达式；
（Ⅱ）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，证明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

（Ⅰ）由排列21的逆序数a₁=1，排列321的逆序数a₂=3，排列4321的逆序数a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，所以a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）因为bn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n

n+2

+

n+2

n

＞2

n n+2 • n+2 n

=2，n=1，2，…，
所以b₁+b₂+…+b_n＞2n．
又因为bn=

n

n+2

+

n+2

n

=2+

2

n

-

2

n+2

，n=1，2，…，
所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（

1

1

-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

＜2n+3．
综上，2n＜b₁+b₂+b_n＜2n+3，n=1，2，…