Question

选修4-4　 坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0，
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设（x，y）是曲线C上任意一点，求

y

x

的最大、最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可；
（Ⅱ）设

y

x

=k，把问题转化为y=kx与圆相切时的直线的斜率问题即可．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0，∴ρ2-4

2

ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，
化为普通方程x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2，圆心C（2，2），半径r=

2

．
（Ⅱ）设

y

x

=k，则y=kx．
∵直线y=kx与圆C有公共点，∴圆心C（2，2）到直线y=kx的距离d≤r，即

|2k-2|

k2+1

≤

2

，化为k²-4k+1≤0，解得2-

3

≤k≤2+

3

．
∴

y

x

的最大、最小值分别为2+

3

、2-

3

．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式及直线与圆的位置关系是解题的关键．