Question

过点（0，-

1

2

)的直线l与抛物线y=-x²交于A、B两点，O为坐标原点，则

OA

•

OB

的值为（　　）

• A．-

  1

  2

• B．-

  1

  4

• C．-4
• D．无法确定

Answer 1

分析：法一：根据抛物线的标准方程，当AB的斜率为0时，可得A，B，求得

OA

•

OB

的值，结合选择题的特点，得出结论．
法二：由抛物线y=-x²与过其焦点（0，-

1

2

）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答：解：法一：当AB的斜率K=0时，可得A（-

2

2

，-

1

2

），B（

2

2

，-

1

2

）
∴

OA

•

OB

=（ -

2

2

，-

1

2

）•（

2

2

，-

1

2

）=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

故选B
法二：，由题意可得直线AB的斜率存在
∴直线AB的方程为y=kx-

1

2

，
由

y=kx- 1 2 y=-x2

得x2+kx-

1

2

=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 x₁+x₂=-k，x1x2=-

1

2

∴y₁•y₂=（kx₁-

1

2

）•（kx₂-

1

2

）=k²x₁•x₂-

1

2

k（x₁+x₂）+

1

4

=

1

4

∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

故选B

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，其中法一中，通过给变量取特殊值，检验所给的选项，是一种简单有效的方法，在此类对于参数K取任意值时所研究的对象取值不变的前提下，应用特殊值法解决此类问题最有效，最直接，注意此方法的应用的原理．