Question

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}，k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）若F（x）=2f（x）-4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，

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8

]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知f（x）在（0，+∞）上单调递增，结合幂函数的单调性与指数的关系可构造关于k的不等式，解不等式求出实数k的值，并得到函数f（x）的解析式；
（2）由（1）中结果，可得函数F（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可构造关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围；
（3）由（1）中结果，可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可求出q的值．

解答：解：（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0，
解得：-1＜k＜2．…（2分）
又k∈Z
∴k=0或k=1，…（3分）
分别代入原函数，得f（x）=x²．…（4分）
（2）由已知得F（x）=2x²-4x+3．…（5分）
要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则0＜a＜

1

2

．…（8分）
（3）由已知，g（x）=-qx²+（2q-1）x+1．…（9分）
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x=

2q-1

2q

=1-

1

2q

＜1，
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得，
又g（2）=-1≠-4，
从而必有g（-1）=2-3q=-4，解得q=2．
此时，g（x）=-2x²+3x+1，其对称轴x=

3

4

∈[-1，2]，
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为g(

3

4

)=-2×(

3

4

)2+3×

3

4

+1=

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8

，符合题意．
∴存在q=2，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，

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]．…（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，幂函数的性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．