如图.在海岸线EF一侧有一休闲游乐场.游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC.该曲线段是函数y=Asin).x∈[-4.0]的图象.图象的最高点为B．边界的中间部分为长1千米的直线段CD.且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧$\widehat{DE}$．(1)求曲线段FGBC的函数表达式,(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[-4，0]的图象，图象的最高点为B（-1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧$\widehat{DE}$．
（1）求曲线段FGBC的函数表达式；
（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧$\widehat{DE}$上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．

分析（1）由题意可得A=2，T=12，代入点求ϕ，从而求解析式；
（2）令由$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$=1求解x，从而求景观路GO的长；
（3）作图求S_{平行四边形OMPQ}=OM•PP₁=$（2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）•2sinθ$=$4sinθcosθ-\frac{4\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}θ$=$2sin2θ+\frac{2\sqrt{3}}{3}cos2θ-\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，从而求最值．

解答解：（1）由已知条件，得A=2，
又∵$\frac{T}{4}=3$，$T=\frac{2π}{ω}=12$，∴$ω=\frac{π}{6}$．
又∵当x=-1时，有y=2sin（-$\frac{π}{6}$+φ）=2，∴φ=$\frac{2π}{3}$．
∴曲线段FGBC的解析式为$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$，x∈[-4，0]．
（2）由$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$=1
得x=6k+（-1）^k-4 （k∈Z），
又x∈[-4，0]，∴k=0，x=-3．∴G（-3，1）．
∴OG=$\sqrt{10}$．
∴景观路GO长为$\sqrt{10}$千米．
（3）如图，OC=$\sqrt{3}$，CD=1，∴OD=2，$∠COD=\frac{π}{6}$，

作PP₁⊥x轴于P₁点，在Rt△OPP₁中，PP₁=OPsinθ=2sinθ，
在△OMP中，$\frac{OP}{sin120°}=\frac{OM}{sin（60°-θ）}$，
∴$OM=\frac{OP•sin（60°-θ）}{sin120°}=\frac{4}{\sqrt{3}}•sin（60°-θ）$=$2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$．
S_{平行四边形OMPQ}=OM•PP₁=$（2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）•2sinθ$
=$4sinθcosθ-\frac{4\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}θ$=$2sin2θ+\frac{2\sqrt{3}}{3}cos2θ-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{2\sqrt{3}}{3}$  θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．
当$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，即$θ=\frac{π}{6}$时，平行四边形面积最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．