题目内容
利用函数单调性的定义证明：f(x)=x+
在区间[2，+∞）上为增函数．
| 4 | x |
分析：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x1）＜f（x2）即可．
解答：证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）+
=
，
因为2≤x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2＞4，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）=x+
在[2，+∞）上为增函数．
则f（x1）-f（x2）=（x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4(x2-x1) |
| x1x2 |
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
因为2≤x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2＞4，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）=x+
| 4 |
| x |
点评：本题考查函数单调性的证明，属基础题，单调性的证明方法主要有：定义法；导数法，要熟练掌握．
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