题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=2，S_n= $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 $数学公式$ （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和的公式．

解：（1）∵S_n= $\text{[math]}$ a_n（n∈N^*），①
∴S_n+1= $\text{[math]}$ a_n+1（n∈N^*），②
②-①得：a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+1- $\text{[math]}$ a_n，
∴ $\text{[math]}$ a_n+1= $\text{[math]}$ a_n，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又a₁=2，
a_n= $\text{[math]}$ a_n-1= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a_n-2= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×…× $\text{[math]}$ a₁
=na₁=2n．
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，设数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2n×3ⁿ，③
∴3T_n=2×3²+4×3³+…+2（n-1）×3ⁿ+2n×3ⁿ⁺¹，④
③-④得：-2T_n=2×3+2×3²+…+2×3ⁿ-2n×3ⁿ⁺¹
∴-T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
= $\text{[math]}$ -n×3ⁿ⁺¹
=（ $\text{[math]}$ -n）3ⁿ⁺¹- $\text{[math]}$ ，
∴T_n=（n- $\text{[math]}$ ）3ⁿ⁺¹+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由S_n= $\text{[math]}$ a_n可得S_n+1= $\text{[math]}$ a_n+1，两式相减可求得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再结合a₁=2，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和．
点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式，求得数列{a_n}的通项公式是关键，也是难点，考查分析与推理能力，属于中档题．