题目内容
一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的．房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．假定燕子飞向各扇窗子是等可能的．
（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；
（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第η次试飞时飞出了房间，求试飞次数η的分布列及其数学期望．
（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；
（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第η次试飞时飞出了房间，求试飞次数η的分布列及其数学期望．
分析：（1）由题设条件知，燕子每次试飞出了房间的概率，由此可求燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率；
（2）η的可能取值为1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到试飞次数η的分布列与数学期望．
（2）η的可能取值为1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到试飞次数η的分布列与数学期望．
解答：解：（1）由题设条件知，燕子每次试飞出了房间的概率为
∴燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率为P=(1-
)×
=
（2）由题设条件知P（η=1）=
，P（η=2）=
×
=
，P（η=3）=
×
×
=
，P（η=4）=
×
×
×1=
∴试飞次数η的分布列如下：
∴试飞次数η的数学期望为E（η）=1×
+2×
+3×
+4×
=
．
| 1 |
| 4 |
∴燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率为P=(1-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
（2）由题设条件知P（η=1）=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴试飞次数η的分布列如下：
| η | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．
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