题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＜b＜0)的左、右焦点分别为F1，F2点A在椭圆C上，
•
=0，3|
|•|F1A|=-5
•
，|
|=2，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段OF2上是否存在点M（m，0），使得
•
=
•
？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
. |
| AF1 |
| F1F2 |
. |
| AF2 |
. |
| AF2 |
| F1A |
. |
| F1F2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段OF2上是否存在点M（m，0），使得
. |
| OP |
. |
| MP |
. |
| PQ |
| MQ |
分析：（Ⅰ）利用
•
=0，可得∠AF1F2=90°．由已知3|
| |
|=-5
•
，利用夹角公式可得cos∠F1AF2=
．又|
|=2，解得|
|，|
|．即可得到2a=|
|+|
|=4，c=1，即可得到b2=a2-c2，进而得到椭圆方程；
（II）存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得到点N，再利用向量
•
=
•
可得
•(
+
)=2
•
=0，因此PQ⊥MN，利用k•kMN=-1即可得到m与k的关系．
| AF1 |
| F1F2 |
| AF2 |
| F1A |
| AF2 |
| F1A |
| 3 |
| 5 |
| F1F2 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
| AF2 |
（II）存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得到点N，再利用向量
| QP |
| MP |
| PQ |
| MQ |
| PQ |
| MP |
| MQ |
| PQ |
| MN |
解答：解：（Ⅰ）∵
•
=0，∴∠AF1F2=90°．
∵3|
| |
|=-5
•
，∴cos∠F1AF2=
．
又|
|=2，解得|
|=
，|
|=
．
∴2a=|
|+|
|=4，
∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3，
即所求椭圆方程为
+
=1．
（Ⅱ） 存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），
直线PQ的斜率为k（k≠0），
注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由
消去y得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
所以x1+x2=
，
故x0=
=
，y0=k（x0-1）=
．
又点N在直线PQ上，所以N(
，
)，
由
•
=
•
可得
•(
+
)=2
•
=0，
∴PQ⊥MN，∴kMN=
=-
，
整理得m=
=
∈(0，
)，
所以，在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，
)．
| AF1 |
| F1F2 |
∵3|
| AF2 |
| F1A |
| AF2 |
| F1A |
| 3 |
| 5 |
又|
| F1F2 |
| AF1 |
| 3 |
| 2 |
| AF2 |
| 5 |
| 2 |
∴2a=|
| AF1 |
| AF2 |
∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3，
即所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ） 存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），
直线PQ的斜率为k（k≠0），
注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由
|
所以x1+x2=
| 8k2 |
| 4k2+3 |
故x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| 4k2 |
| 4k2+3 |
| -3k |
| 4k2+3 |
又点N在直线PQ上，所以N(
| 4k2 |
| 4k2+3 |
| -3k |
| 4k2+3 |
由
| QP |
| MP |
| PQ |
| MQ |
| PQ |
| MP |
| MQ |
| PQ |
| MN |
∴PQ⊥MN，∴kMN=
0+
| ||
m-
|
| 1 |
| k |
整理得m=
| k2 |
| 4k2+3 |
| 1 | ||
4+
|
| 1 |
| 4 |
所以，在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，
| 1 |
| 4 |
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、中点坐标公式、向量的数量积运算等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．
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