题目内容

如图,在函数y=x3-x的图象上取4个点Ai(xi,yi),过点Ai作切线li(i=1,2,3,4),如果l1∥l3,且l1,l2,l3,l4围成的图形是矩形记为M.
(1)证明四边形A1A2A3A4是平行四边形;
(2)问矩形M的短边与长边的比是否有最大值,若有,求l1与l2的斜率,若没有,请证明.

解:(1)设直线li的斜率为ki(i=1,2,3,4),
由y′=3x2-1,得ki=3xi2-(12分)
由题意k1=k3,k2=k4,又点A1A2A3A4不重合,故x1=-x3,x2=-x4
从而y1=-y3,y2=-y4,-(5分)
因此A1与A3,A2与A4都关于原点对称,
故四边形A1A2A3A4是平行四边形;(7分)
(2)有最大值; (9分)
设k1>0,k2<0li:y-yi=ki(x-xi),即y-kix+2xi3=0,且k1k2=-1
设l1与l3的距离为,l2与l4的距离为(k>1)(11分)
(x>1)
时为增函数,
时为减函数,
故当(14分)
因为
因此矩形M的短边与长边的比有最大值,l1与l2的斜率分别为,(16分)
分析:(1)先设直线li的斜率为ki(i=1,2,3,4),利用导数的几何意义得出切线的斜率,由题意证出A1与A3,A2与A4都关于原点对称,从而得出故四边形A1A2A3A4是平行四边形;
(2)设l1与l3的距离为,l2与l4的距离为列出矩形M的短边与长边的比,令(x>1)利用导数工具研究其单调性和最值,从而得出矩形M的短边与长边的比有最大值及相应的l1与l2的斜率.
点评:本小题主要考查两条平行直线间的距离、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
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