题目内容

设a∈R，向量m=（a，1），函数y=f（x）的图象经过坐标原点，f′（x）是函数f（x）的导函数．已知A（-1，f′（-1）），B（x，x²），f′（x）= $数学公式$ m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程 $数学公式$ 在区间[-1，1]上有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a=2，设数列{a_n}满足a₁=3，4a_n=2f'（a_n-1）-3（n=2，3，4，…）．求证： $数学公式$ （n∈N*）．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ m=a（x+1）+x²-f'（-1）．
令x=-1，则f'（-1）=a（x+1）+（-1）²-f'（-1），解得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵y=f（x）的图象过原点，
∴ $\text{[math]}$ ．（4分）
（II）原方程可以整理为 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，则g'（x）=2x²+x-1．
由g'（x）=0有x=-1或 $\text{[math]}$ ，
且当x＜-1或 $\text{[math]}$ 时g'（x）＞0，当 $\text{[math]}$ 时g'（x）＜0．
∴在x∈[-1，1]时，g（x）在[-1， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，1]上是增函数，（8分）
∴在[-1，1]上 $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴要使原方程在[-1，1]上有两个不相等的实数根，则须使 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
即a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．（10分）
（III）a=2时， $\text{[math]}$ ．
∴4a_n=2（ $\text{[math]}$ ）-3，整理得2a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2）．
变形得（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），
令c_n=a_n+1，则c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．
两边同取对数有log₂（2c_n）＞log₂c_n-1²，即1+log₂c_n＞2log₂c_n-1．
令d_n=log₂c_n，则d₁=2，且1+d_n＞2d_n-1，
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）（n≥2），
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）＞2²（d_n-2-1）＞＞2^n-1（d₁-1）=2^n-1，
∴d_n＞1+2^n-1＞2^n-1，
∴c_n= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴a_n＞ $\text{[math]}$ -1（n≥2）．
当n=1时，a₁=3＞ $\text{[math]}$ -1=1，即不等式也成立，
∴a_n＞ $\text{[math]}$ -1（n∈N*）．（14分）
分析：（I）由题设知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ m=a（x+1）+x²-f'（-1）． $\text{[math]}$ ．由y=f（x）的图象过原点，知 $\text{[math]}$ ．
（II）原方程整理为 $\text{[math]}$ ．令 $\text{[math]}$ ，则g'（x）=2x²+x-1．再由函数的增减性知要使原方程在[-1，1]上有两个不相等的实数根，则须使 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．从而得到a的取值范围．
（III）a=2时， $\text{[math]}$ ．所以（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），令c_n=a_n+1，则c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．然后两边同时取对数，再结合题设条件进行求解．
点评：本题考查数列和不等式的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．