题目内容

(本小题满分14分)已知函数处取得极值.

⑴求的解析式;

⑵设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问:是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;

⑶设函数,若对于任意,总存在,使得,求

实数的取值范围.

 

【答案】

.

⑵存在满足条件的点,此时点的坐标为.

的取值范围是.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

(1)⑴∵,∴.又处取得极值.得到参数a,b的值。

(2)由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,

.则由,得,∴,

(3),分析导数的符号,与单调性的关系得到最值。

解:⑴∵,∴.又处取得极值.

,即,解得,,经检验满足题意,∴.…(4分)

⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,

.则由,得,∴,

,∴,得.故存在满足条件的点,此时点的坐标为.                   ………… (8分)

⑶解法 ,令,得.

变化时,的变化情况如下表:

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

处取得极小值,在处取得极大值.

时,,∴的最小值为.     

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,最小值不大于.又.

∴当 时,的最小值为,由,得

时,最小值为,由,得

时,的最小值为.由,即,解得.又,∴此时不存在.                    

综上,的取值范围是.   …………   (14分)

   解法:同解法的最小值为.   

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即上有解.设,则

,

,得.

时,上有解,故的取值范围是.

   解法:同解法的最小值为.  

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即上有解.令,则,∴.

∴当时,;当时,得,不成立,∴不存在;

时,.令,∵时,,∴上为减函数,∴,∴.

综上,的取值范围是.

 

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