题目内容
(本小题满分14分)已知函数在处取得极值.
⑴求的解析式;
⑵设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问:是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
⑶设函数,若对于任意,总存在,使得,求
实数的取值范围.
⑴.
⑵存在满足条件的点,此时点的坐标为或.
⑶的取值范围是.
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)⑴∵,∴.又在处取得极值.得到参数a,b的值。
(2)由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,
又.则由,得,∴,
(3),分析导数的符号,与单调性的关系得到最值。
解:⑴∵,∴.又在处取得极值.
∴,即,解得,,经检验满足题意,∴.…(4分)
⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,
又.则由,得,∴,
∵,∴,得.故存在满足条件的点,此时点的坐标为或. ………… (8分)
⑶解法: ,令,得或.
当变化时,、的变化情况如下表:
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
∴在处取得极小值,在处取得极大值.
又时,,∴的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,最小值不大于.又.
∴当 时,的最小值为,由,得;
当时,最小值为,由,得;
当时,的最小值为.由,即,解得或.又,∴此时不存在.
综上,的取值范围是. ………… (14分)
解法:同解法得的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.设,则
得,
或,得或.
∴或时,在上有解,故的取值范围是.
解法:同解法得的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.令,则,∴.
∴当时,;当时,得,不成立,∴不存在;
当时,.令,∵时,,∴在上为减函数,∴,∴.
综上,的取值范围是.