Question

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用．
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
（3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据所给的条件可以判断本题是一个独立重复试验，由题意知①号面不需要更换的对立事件是①号面需要更换，根据对立事件的概率得到结果．
（2）由题意知本题满足独立重复试验，根据独立重复试验，得到6个面中恰好有2个面需要更换的概率．
（3）由题意知本题的变量符合二项分布，结合二项分布的概率公式得到分布列和期望，用公式来解比用一般的方法要简单得多．

解答：解：（1）由题意知①号面不需要更换的对立事件是①号面需要更换，
∵①号面不需要更换的概率为

C 3 5 + C 4 5 + C 5 5

25

=

1

2

，
∴①号面需要更换的概率为P=1-

1

2

=

1

2

．
（2）根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为
P6(2)=

C

2 6

(

1

2

)2(

1

2

)4=

C 2 6

26

=

15

64

．
（3）∵ξ～B(6，

1

2

)，
又P6(0)=

C 0 6

26

=

1

64

，P6(1)=

C 1 6

26

=

3

32

，
P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

，P6(3)=

C 3 6

26

=

5

16

，
P6(4)=

C 4 6

26

=

15

64

，P6(5)=

C 5 6

26

=

3

32

，
P6(6)=

C 6 6

26

=

1

64

，
∴维修一次的费用ξ的分布为：

∵ξ～B(6，

1

2

)，
∴Eξ=100×6×

1

2

=300元．

点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．