Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）若函数g(x)=f(x)+

2

x

在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=-2e时，f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

，利用x变化时，f'（x），f（x）的变化情况可求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）由g（x）=x²+alnx+

2

x

，得g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤

2

x

-2x²在[1，4]上恒成立．构造函数φ（x）=

2

x

-2x²，求其最小值即可．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=-2e时，f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

（2分），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

∴f（x）的单调递减区间是（0，

e

）；单调递增区间是（

e

，+∞）．
极小值是f（

e

）=0．（6分）
（2）由g（x）=x²+alnx+

2

x

，得g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

（8分）
又函数g（x）=x²+alnx+

2

x

为[1，4]上的单调减函数．
则g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+

a

x

-

2

x2

≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤

2

x

-2x²在[1，4]上恒成立．     （10分）
设φ（x）=

2

x

-2x²，显然?（x）在[1，4]上为减函数，
所以?（x）的最小值为?（4）=-

63

2

．
∴a的取值范围是a≤-

63

2

．（12分）

点评：本题考查利用倒数研究函数的单调性，着重考查函数在某点取得极值的条件，考查闭区间上的恒成立问题，突出转化思想与构造函数的思想的运用，属于难题．