Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数极值的定义，先求函数g（x）=x³+mx²-nx的导函数，由

g′(1)=0 △＞0

可得m与n的关系式
（2）在（1）的条件下g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，解不等式g'（x）＞0，即可得函数g（x）的单调递增区间，但需要比较根1与-1-

2m

3

的大小，因此需讨论后得结果
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，参变分离后可转化为m≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在x∈（0，+∞）上恒成立，从而只需求y=lnx-

3

2

x-

1

2x

的最大值即可，利用导数判断其单调性可得结果

解答：解：（1）g'（x）=3x²+2mx-n，
由题意得

g′(1)=0 4m2+12n＞0

，∴n=2m+3（m≠-3）．
（2）由（1）知：g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g'（x）=0，得x1=1，x2=-1-

2m

3

(m≠-3)
①当1＞-1-

2m

3

，即m＞-3时，由g'（x）＞0得x＜-1-

2m

3

或x＞1，
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，-1-

2m

3

)，(1，+∞)；  
②当1＜-1-

2m

3

，即m＜-3时，由g'（x）＞0得x＜1或x＞-1-

2m

3

，
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，1)，(-1-

2m

3

，+∞)．
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x²+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得m≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在x∈（0，+∞）上恒成立，
设h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，
则h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
令h'（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），
∵当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范围是[-2，+∞）

点评：本题综合考查了导数在函数极值、单调性、最值中的应用，解题时要认真体会导数在研究函数性质方面的积极作用，规范解题，还要注意运算技巧和分类讨论