Question

13、已知在（1-2x）ⁿ的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则（1-2x）ⁿ（1-x）的展开式中，x⁴项的系数是

400

．

Answer 1

分析：根据题意，（1-2x）ⁿ的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则2ⁿ=64，解可得n=6；进而分析（1-2x）⁶（1-x）的展开式中x⁴项的系数，由两种情况可以得到，即（1-2x）⁶中x的系数为4，在（1-x）中取1；或（1-2x）⁶中x的系数为3，在（1-x）中取（-x）；分别计算其数目，相加可得答案．

解答：解：根据题意，（1-2x）ⁿ的展开式中，各项的二项式系数之和是64，
则2ⁿ=64，解可得n=6；
则（1-2x）⁶（1-x）的展开式中，
x⁴项由两种情况得到，（1-2x）⁶中x的系数为4，在（1-x）中取1；或（1-2x）⁶中x的系数为3，在（1-x）中取（-x）；
则x⁴项的系数1×C₆⁴×（-2）⁴+（-1）×C₆³×（-2）³=400；
故答案为400．

点评：本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．