Question

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=

a

2

x2，x∈（-∞，0）且a＜0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上图象的交点坐标；
（Ⅱ）设函数y=f（x），y=g（x）的图象在同一交点处的两条切线分别为l₁，l₂，是否存在这样的实数a，使得l₁⊥l₂？若存在，请求出a的值和相应交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若对任意x₁∈[-1，0），存在x₂∈[-1，0），使f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接令f（x）-g（x）=0求出对应的自变量进而求出函数y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上图象的交点坐标；
（Ⅱ）先求出两个函数的导函数，再求出对应的斜率，根据l₁⊥l₂，得到关于a的方程，求出a的值即可得到结论；
（Ⅲ）先把问题转化为：g（x）在[-1，0）上的最大值不大于f（x）在[-1，0）上的最小值；再通过求导函数得到函数f（x）在[-1，0）上的最小值，与g（x）在[-1，0）上的最大值相比即可求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）-g（x）=x（x-a）²-

a

2

x²=0得x²-

5

2

ax+a²=0解得x=

a

2

，x=2a：
所以，函数y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上图象的交点坐标为A（

a

2

，

a2

8

）和B（2a，2a²）．
（Ⅱ）g'（x）=ax，f'（x）=3x²-4ax+a²存在这样的实数a，使得l₁⊥l₂，则有
（1）在点A（

a

2

，

a2

8

）处，g'（

a

2

）f'（

a

2

）=-1，
a•

a

2

•（3×

a2

4

-2a²+a²）=-1得

a4

8

=1．
∵a＜0故a=-

4	8

，此时点A坐标为（-

4， 8

2

，-

4 2

2

），
（2）在点B（2a，2a²）处，有g'（2a）f'（2a）=-1
即a•2a•（3×4a²-8a²+a²）=-1得10a⁴=-1，无解．
综上存在a=-

4	8

使l₁⊥l₂，此时交点坐标为（-

4， 8

2

，-

4 2

2

）．
（Ⅲ）“对任意x₁∈[-1，0），存在x₂∈[-1，0），使f（x₁）≥g（x₂），''等价于g（x）在[-1，0）上的最大值不大于f（x）在[-1，0）上的最小值
设f（x）在[-1，0）上的最小值为F（a），令f'（x）=0得x₁=

a

3

，x₂=a．
由此可得f（x）在（-∞，a）和（

a

3

，0）上单调递增，在（a，

a

3

）上单调递减
；当x=

a

3

时，x³-2ax²+a²x=

4

27

a3．整理得（x-

4

3

a）（x-

a

3

）²=0．
即直线y=

4

27

a³与y=f（x）的图象的另一交点的横坐标为x=

4

3

a．
结合图象可得
①若

a

3

＜-1即a＜-3，F（a）=f（x）_min=f（-1）=-（a+1）²；
②若

4

3

a＜-1≤

a

3

即-3≤a＜-

3

4

，F（a）=f（x）_min=f（

a

3

）=

4

27

a3；
③若

4

3

a≥-1即-

3

4

≤a＜0时，F（a）=f（-1）=-（a+1）²．
综上F（a）=

-(a+1) 2 ，  a＜-3，- 3 4 ≤ a＜0 4 27 a3 ，       -3≤ a＜- 3 4

，
而g（x）在[-1，0）上单调递增，故最小值为g（-1）=

a

2

．
当a＜-3，-

3

4

≤a＜0时，由

a

2

≤-（a+1）²得-2≤a≤-

1

2

．所以a∈[-

3

4

，-

1

2

]；
当a∈[-3，-

3

4

）时，

a

2

≤

4

27

a3得-

3

4

6

≤a≤

3

4

6

所以a∈[-

6

4

，-

3

4

）．
综上可得a的取值范围是[-

3 6

4

，-

1

2

]．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．