题目内容
已知函数f（x）=x3-ax2+3x．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
分析：（Ⅰ） 由题意知f'（x）=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，再利用导数求其最小值和最大值
（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，分离参数a，转化为即a≤
+
在x∈[1，+∞）内恒成立
（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，分离参数a，转化为即a≤
| 3x |
| 2 |
| 3 |
| 2x |
解答：解：（Ⅰ） 由题意知f'（x）=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，…（3分）
所以f'（x）=3x2-10x+3=0的根为x=3或 x=
（舍去），
当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当3＜x＜5时，f'（x）＞0，
f（x）在x∈[1，3]上单调递减，在x∈[3，5]上单调递增
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．…（7分）
（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，
即a≤
+
在x∈[1，+∞）内恒成立
又
+
≥3（当且仅当x=1时取等号），所以a≤3…（13分）
所以f'（x）=3x2-10x+3=0的根为x=3或 x=
| 1 |
| 3 |
当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当3＜x＜5时，f'（x）＞0，
f（x）在x∈[1，3]上单调递减，在x∈[3，5]上单调递增
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．…（7分）
（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，
即a≤
| 3x |
| 2 |
| 3 |
| 2x |
又
| 3x |
| 2 |
| 3 |
| 2x |
点评：本题考查导数知识的运用，求函数的单调性，函数的最值，分离参数的方法解决恒成立问题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|