题目内容

已知函数f(x)=
x
0
t(t-4)dt

(1)若不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,求实数m的取值范围;
(2)若函数g(x)=f(x)+a-
1
3
在区间[0,5]上没有零点,求实数a的取值范围.
分析:(1)根据定积分先求出函数的解析式,再利用分离参数法,将不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,转化为m>(x2-2x+2)min(x∈[0,2]),即可求得实数m的取值范围;
(2)求导函数,确定g(x)的最小值,要使函数g(x)在区间[0,5]上没有零点,则a-11>0或
g(0)=a-
1
3
<0
g(5)=-
26
3
+a<0
,由此可求实数a的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)=
x
0
t(t-4)dt
=(
1
3
t3-2t2)
|
x
0
=
1
3
x3-2x2

∴f′(x)=x2-4x
不等式f(x)+2x+2<m可化为m>x2-2x+2
∵不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,
∴m>(x2-2x+2)min(x∈[0,2])
∵x2-2x+2=(x-1)2+1,
∴当x∈[0,2]时,(x2-2x+2)min=1
∴m>1,
∴实数m的取值范围为(1,+∞)
(2)由(1)得g(x)=
1
3
x3-2x2+a-
1
3

∴g′(x)=x2-4x=x(x-4)
则当x∈[0,4]时,g′(x)≤0;当x∈(4,5]时,g′(x)>0
∴当x=4时,g(x)的最小值为g(4)=a-11
∵函数g(x)在区间[0,5]上没有零点,
∴a-11>0或
g(0)=a-
1
3
<0
g(5)=-
26
3
+a<0

∴a>11,或a
1
3

∴实数a的取值范围为(11,+∞)∪(-∞,
1
3
).
点评:本题考查定积分,考查导数知识的运用,考查函数的零点,考查不等式有解问题,解题的关键是利用分离参数法,将不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,转化为m>(x2-2x+2)min(x∈[0,2]).
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