Question

已知函数f(x)=

∫

x 0

t(t-4)dt；
（1）若不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，求实数m的取值范围；
（2）若函数g(x)=f(x)+a-

1

3

在区间[0，5]上没有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据定积分先求出函数的解析式，再利用分离参数法，将不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，转化为m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]），即可求得实数m的取值范围；
（2）求导函数，确定g（x）的最小值，要使函数g（x）在区间[0，5]上没有零点，则a-11＞0或

g(0)=a- 1 3 ＜0 g(5)=- 26 3 +a＜0

，由此可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

∫

x 0

t(t-4)dt=(

1

3

t3-2t2)

|

x 0

=

1

3

x3-2x2
∴f′（x）=x²-4x
不等式f（x）+2x+2＜m可化为m＞x²-2x+2
∵不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，
∴m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]）
∵x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴当x∈[0，2]时，（x²-2x+2）_min=1
∴m＞1，
∴实数m的取值范围为（1，+∞）
（2）由（1）得g(x)=

1

3

x3-2x2+a-

1

3

，
∴g′（x）=x²-4x=x（x-4）
则当x∈[0，4]时，g′（x）≤0；当x∈（4，5]时，g′（x）＞0
∴当x=4时，g（x）的最小值为g（4）=a-11
∵函数g（x）在区间[0，5]上没有零点，
∴a-11＞0或

g(0)=a- 1 3 ＜0 g(5)=- 26 3 +a＜0

∴a＞11，或a＜

1

3

∴实数a的取值范围为（11，+∞）∪（-∞，

1

3

）．

点评：本题考查定积分，考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式有解问题，解题的关键是利用分离参数法，将不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，转化为m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]）．