Question

已知双曲线和椭圆有相同的焦点和，两曲线在第一象限内的交点为，椭圆与轴负半轴交于点，且三点共线，分有向线段的比为，又直线与双曲线的另一交点为，若．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求双曲线和椭圆的方程．

Answer 1

（1）（2）椭圆方程为，双曲线方程为

（1）设椭圆的方程为，由三点共线，且分有向线段的比为．
得点的坐标为，代入椭圆方程，得椭圆的离心率．
（2）由（1）可得椭圆的方程为，点的坐标为．
直线的方程为．
设双曲线的方程为，
则．
在双曲线上，
．
化简，得，故．
将直线的方程代入双曲线方程，得．
由此，得．
从而．
椭圆方程为，双曲线方程为．