Question

已知直线l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，下列命题中真命题序号为

②③④

①直线l的斜率为tanθ；
②存在实数λ，使得对任意的θ，直线l恒过定点；
③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆相切；
④若圆O：（x+1）²+y²=4上到直线l距离为1的点恰好3个，则λ=±1．

Answer 1

分析：①当cosθ=0时，直线l没有斜率；②存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆（x+1）²+y²=λ²相切；④由圆O：（x+1）²+y²=4上到直线l距离为1的点恰好3个，知圆（x+1）²+y²=4的圆心（-1，0）到直线xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，由此求出λ=±1．

解答：解：①当cosθ=0时，直线l没有斜率，故①不正确；
②当λ=0时，直线l：xsinθ-ycosθ+sinθ=0，
当sinθ=0时，cosθ=1，直线l：-y=0过定点（0，0），
当sinθ≠0时，直线l：x-

cosθ

sinθ

y=0过定点（0，0），
∴存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；
③∵直线l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，
∴点（-1，0）到直线l的距离d=

|-sinθ-0+sinθ+λ|

sin2θ+cos2θ

=|λ|，
∴对任意非零实数λ，都有对任意的θ，
直线l与同一个定圆（x+1）²+y²=λ²相切，故③正确；
④∵圆O：（x+1）²+y²=4上到直线l距离为1的点恰好3个，
∴圆（x+1）²+y²=4的圆心（-1，0）到直线xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，
∴|-sinθ-0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断，是中档题．解题时要认真审题，注意直线、圆、点到直线距离公式等知识点的合理运用．