题目内容

已知向量
a
=(cosθ， sinθ)， θ∈[0， π]， 
b
=(
3
， -1)．若|2
a
-
b
|＜m恒成立则实数m的取值范围是（　　）
分析：由条件利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，化简|2
a
-
b
|的解析式为
8-8cos(θ+
π
6
)
，再根据θ∈[0，π]，利用余弦函数的定义域和值域求得|2
a
-
b
|的最大值，可得m的范围．
解答：解：由题意可得，|2
a
-
b
|=
(2
a
-
b
)2
=
4
a
2-4
a
•
b
+
b
2
=
4-4(
3
cosθ-sinθ)+4
=
8-8(
3
2
cosθ-
1
2
sinθ)

=
8-8cos(θ+
π
6
)
．
∵θ∈[0，π]，∴θ+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，
∴cos（θ+
π
6
）∈[-1，
3
2
]，
∴|2
a
-
b
|的最大值为4．
若|2
a
-
b
|＜m恒成立，则 m＞4，
故选：B．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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