题目内容
(本题满分16分)
已知抛物线C的顶点在坐标原点,准线l的方程为x=-2,点P在准线上l上,纵坐标为,点Q在y轴上,纵坐标为2t。
求抛物线C的方程;
求证:直线PQ恒与一个圆心在x轴是的定圆M相切,并求圆M的方程。
(1)设抛物线的方程为,
因为准线的方程为,所以,即,
因此抛物线的方程为. …………………………………………………………4分
(2)由题意可知,,,
则直线方程为:,即,………………8分
设圆心在轴上,且与直线相切的圆的方程为,
则圆心到直线的距离, …………………………………10分
即①,或② ,
由①可得对任意恒成立,则有
,解得(舍去),……………………………………………………14分
由②可得对任意恒成立,则有
,可解得
因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切,圆的方程为.
…………………………………………………………………………………………………16分
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