题目内容

(本题满分16分)

已知抛物线C的顶点在坐标原点,准线l的方程为x=-2,点P在准线上l上,纵坐标为,点Q在y轴上,纵坐标为2t。

求抛物线C的方程;

求证:直线PQ恒与一个圆心在x轴是的定圆M相切,并求圆M的方程。

(1)设抛物线的方程为

因为准线的方程为,所以,即

因此抛物线的方程为.  …………………………………………………………4分

(2)由题意可知,,

则直线方程为:,即,………………8分

设圆心在轴上,且与直线相切的圆的方程为

则圆心到直线的距离, …………………………………10分

①,或② ,

由①可得对任意恒成立,则有

,解得(舍去),……………………………………………………14分

由②可得对任意恒成立,则有

,可解得

因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切,圆的方程为.

…………………………………………………………………………………………………16分

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