Question

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；
（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．

Answer 1

分析：（I）设切点（x₀，y₀），根据函数在x₀处的导数等于-1，以及切点在切线上又在曲线上建立方程组，可求出a与b的等式关系，最后求出b的范围即可；
（II）利用定积分表示出此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，然后利用定积分的运算法则求出面积S，最后利用导数研究函数的最值即可，同时求出此时的a和b．

解答：解：（I）因为直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，设切点（x₀，y₀）
则f′（x₀）=2ax₀+b=-1，∴x0=

-b-1

2a

又∵

x0+y0=4 y0=ax02+bx

0得a=-

(b+1)2

16

，∵0＜x₀，0＜y₀，得0＜

-b-1

2a

＜4，解得b＞1
（II）S=

∫

- b a 0

(ax2+bx)dx=

1

6a2

b3=

128b3

6(b+1)4

，S′=

128b2(3-b)

3(b+1)5

；
所以在b=3时，S取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=

9

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本知识、基本运算，属于中档题．