Question

{a_n}、{b_n}都是各项为正的数列，对任意的n∈N⁺，都有a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列．
（1）试问{b_n}是否为等差数列，为什么？
（2）如a₁=1，b₁=

2

，求Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

．

Answer 1

分析：（1））要判断{b_n}为等差数列，只要能证b_n-1+b_n+1=2b_n（n＞1），而 由已知可得

an+an+1=2 b 2 n (1) a 2 n+1 = b 2 n • b 2 n+1 (2)

，推导即可
 （2）由（1）可求得bn=

2

2

(n+1)，从而可得an=

1

2

n(n+1)，结合数列的特点考虑利用裂项求和即可

解答：解：（1）依题意

an+an+1=2 b 2 n (1) a 2 n+1 = b 2 n • b 2 n+1 (2)

（2分）
∴b_n-1+b_n+1=2b_n（n＞1）∴{b_n}为等差数列       （6分）
（2）由a₁=1，b1=

2

，求得bn=

2

2

(n+1)（8分）
∴an=

1

2

n(n+1)∴Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的证明方法：等差中项法的应用，数列求和中的裂项求和，属于基本方法的应用．