Question

平面内动点P到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，记点P的轨迹为曲线Γ.

(1)求曲线Γ的方程；

(2)若点A，B，C是Γ上的不同三点，且满足＋＋＝0，证明：△ABC不可能为直角三角形．

 

Answer 1

（1）y2＝4x（2）不可能是直角三角形

【解析】(1)由条件可知，点P到点F(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，所以点P的轨迹是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.

(2)证明：方法一，假设△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则

＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)，且·＝0，

所以(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)＝0.

因为xi＝(i＝1，2，3)，y1≠y2，y1≠y3，

所以(y1＋y2)(y1＋y3)＋16＝0.

又因为＋＋＝0，所以x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0，

所以y2y3＝－16，①

又＋＋＝4(x1＋x2＋x3)＝12，

所以(－y2－y3)2＋＋＝12，即＋＋y2y3＝6，②

由①②得＋－16＝6，即－22＋256＝0，③

因为Δ＝(－22)2－4×256＝－540<0.

所以方程③无解，从而△ABC不可能是直角三角形．

方法二，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由＋＋＝0，

得x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0.欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°.

(ⅰ)当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，从而x3＝3－2x1，y3＝0，

即点C的坐标为(3－2x1，0)．

由于点C在y2＝4x上，所以3－2x1＝0，即x1＝，

此时A，B，C(0，0)，则∠A≠90°.

(ⅱ)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为x＝ty＋m(t≠0)，代入y2＝4x，整理得y2－4ty－4m＝0，则y1＋y2＝4t.

若∠A＝90°，则直线AC的斜率为－t，同理可得y1＋y3＝－.

由y1＋y2＋y3＝0，得y1＝4t－，y2＝，y3＝－4t.

由x1＋x2＋x3＝3，可得＋＋＝4(x1＋x2＋x3)＝12.

从而＋＋(－4t)2＝12，

整理得t2＋＝，即8t4－11t2＋8＝0，④

Δ＝(－11)2－4×8×8＝－135<0.

所以方程④无解，从而∠A≠90°.

综合(ⅰ)(ⅱ)可知，△ABC不可能是直角三角形．