Question

( 本小题满分12分)

已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，有．

(Ⅰ) 判断集合是否具有性质；

(Ⅱ) 求证：；

(Ⅲ) 求证：．

Answer 1

本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．

〖解析〗(Ⅰ)由于，，，

，，，

所以集合具有性质．              ……………………4分

（Ⅱ）证明：依题意有，又，

因此．

可得．

所以．

即．                   ……………………8分

（Ⅲ）证明：由(Ⅱ)可得．

又，可得，因此．

同理，

可知．

又，可得，

所以均成立．

当时，取，则，可知．

又当时，．

所以．                       ……………………12分

       其它解法，请酌情给分.