Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足．
（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，

π

2

]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，再比较f（x₁）和f（x₂）的大小，从而得出：f（x）是增函数；
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，
只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
再根据f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m，
令t=sinθ+cosθ，原命题等价于t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0对t∈[1，

2

]恒成立从而证得原命题成立．

解答：解：（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．（2分）
在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
由题意知f（x₁-x₂）＜0，
则f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函数（6分）
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，
只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
又由f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m（8分）
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
原命题等价于t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0对t∈[1，

2

]恒成立．（10分）

∴(2-t)m＞2t-t2+ 4 t -2， 即m＞ t(2-t)+ 2 t (2-t) 2-t =t+ 2 t 令g(t)=t+ 2 t ，则g′(t)=1- 2 t2 ，

当t∈[1，

2

]时，g′(t)＜0，
故g(t)在[1，

2

]上为减函数，∴m＞3时，原命题成立．（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．