题目内容
设函数f（x）=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切x都有|b2-4ac|＞1．
【答案】分析：抛物线与直线不相交，转化为二次方程没有实数根，利用△＜0并化简变形即可．
解答：证明：因为x∈R，故|f（x）|的最小值若存在，则最小值由顶点确定
故可设f（x）=a（x-x）2+f（x）．
由题意知，a≠0．设f（x）=a（x-x）2+f（x）
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故
△1=（b+1）2-4ac＜0，
△2=（b-1）2-4ac＜0．
∴（b+1）2+（b-1）2-8ac＜0
即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1
所以|b2-4ac|＞1．
点评：本题考查二次函数的恒成立问题，关键是利用图象没有交点转化为方程没有实数根，属于基础题．
解答：证明：因为x∈R，故|f（x）|的最小值若存在，则最小值由顶点确定
故可设f（x）=a（x-x）2+f（x）．
由题意知，a≠0．设f（x）=a（x-x）2+f（x）
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故
△1=（b+1）2-4ac＜0，
△2=（b-1）2-4ac＜0．
∴（b+1）2+（b-1）2-8ac＜0
即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1
所以|b2-4ac|＞1．
点评：本题考查二次函数的恒成立问题，关键是利用图象没有交点转化为方程没有实数根，属于基础题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=(a| x |
| 1 | ||
|
| ∫ | 2π π |
A、-
| ||
| B、-160 | ||
| C、160 | ||
| D、20 |