题目内容

给出下列五个命题：其中正确的命题有（填序号）．
①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积

；
②

；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用数学归纳法证明不等式

的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立时，只需证明

即可．

【答案】分析：①利用定积分的几何意义即可求出；
②由组合数的性质即可判断出；
③利用二项展开式的性质即可判断出；
④根据i的周期性或等比数列的前n项和公式即可得出；
⑤利用数学归纳法的要求即可判断出．
解答：解：①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积=-

=

=4，而面积

=0，因此不正确；
②由组合数的性质可知：在n∈N^*，r∈N的条件下所给的式子成立，因此正确；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，分别令a=1，b=-1，则

…=

…，即奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，因此正确；
④根据i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，则i+i²+i³+…i²⁰¹²=

=

=0，因此正确；
⑤用数学归纳法证明不等式

的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立，
只需证明

+…+

成立即可，因此⑤不正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为②③④．
点评：熟练掌握微积分基本定理、组合数的性质、二项展开式的性质、i的周期性及等比数列的前n和公式、数学归纳法是解题的关键．

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①

?α∥β．
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给出下列命题：
①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f'（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为

．
④若P为双曲线x²-

=1上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6．
其中正确命题的序号是

（把所有正确命题的序号都填上）．

给出下列命题：
①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f'（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为 $数学公式$ ．
④若P为双曲线x²- $数学公式$ =1上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6．
其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都填上）．

给出下列命题：
①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f'（x）=0是函数y=f（x）在x=x处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为

．
④若P为双曲线x²-

=1上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6．
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都填上）．

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①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f'（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为

．
④若P为双曲线x²-

=1上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6．
其中正确命题的序号是______（把所有正确命题的序号都填上）．