Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

分析：（1）f（0）≥1?-a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，
（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．
（3）h（x）≥1转化为3x²-2ax+a²-1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．

解答：解：（1）若f（0）≥1，则-a|a|≥1?

a＜0 a2≥1

?a≤-1
（2）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，∴f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2 3 a2，a＜0

，
如图所示：

当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．

综上所述：f(x)min=

-2a2，a≥0 2 3 a2  a＜0

．
（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，
得3x²-2ax+a²-1≥0，△=4a²-12（a²-1）=12-8a²
当a≤-

6

2

或a≥

6

2

时，△≤0，x∈（a，+∞）；
当-

6

2

＜a＜

6

2

时，△＞0，得：

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 ) ≥0 x＞a

即

x≤ a- 3-2a2 3 或x≥ a+ 3-2a2 3 x＞a

综上可得，
当a∈（-∞，-

6

2

）∪（

6

2

，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；
当a∈（-

6

2

，-

2

2

）时，不等式组的解集为（a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞）；
当a∈[-

2

2

，

2

2

]时，不等式组的解集为[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．

点评：本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．