题目内容

已知函数f(x)=2sin(
1
3
x-
π
6
)，x∈R，设α，β∈[0，
π
2
]，f(3α+
π
2
)=
10
13
，f（3β+2π）=
6
5
，求cosαcosβ-sinαsinβ的值．
分析：由于f（3α+
π
2
）=2sinα=
10
13
，可得sinα=
5
13
，结合α∈[0，
π
2
]，求得 cosα=
12
13
．同理求得cosβ=
3
5
，sinβ=
4
5
．由此求得cosαcosβ-sinαsinβ 的值．
解答：解：由于f（3α+
π
2
）=2sinα=
10
13
，∴sinα=
5
13
，再由 α∈[0，
π
2
]，可得 cosα=
12
13
．
再由 f（3β+2π）=2sin（β+
π
2
）=2cosβ=
6
5
，
∴cosβ=
3
5
，再由β∈[0，
π
2
]，可得sinβ=
4
5
．
∴cosαcosβ-sinαsinβ=
12
13
×
3
5
-
5
13
×
4
5
=
16
65
．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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