Question

【题目】在光滑的水平地面上有一辆车，车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v，直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？

Answer 1

【答案】第一过程使车子获得的速度较大。

【解析】

动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方为参照，这意味着，本问题中不能选车子为参照。一般选地面为参考系，这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”，比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。

设车和人的质量为M，每个铅球的质量为m。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为，第二过程获得的速度大小为。

第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。

由车子、人和N个球动量守恒有

，得。 ①

第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。

第一个球与（N-1）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为。值得注意的是，根据运动合成法则，，铅球对地的速度并不是，而是。它们的动量守恒方程为

，

得。

第二个球与（N-2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为。它们动量守恒方程为

，

得。

第三个球与（N-3）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为。铅球对地的速度是。它们动量守恒方程为

，

得。

以此类推（过程注意：先找和关系，再看和v的关系，不要急于化简通分），的通式已经可以找出：

。

不难发现，和都有N项，每项的分子都相同，但式中每项的分母都比②式中的分母小，所以。结论：第一过程使车子获得的速度较大。