Question

（1）小王同学为了测量积雪的密度，设计了“根据雪地上的脚印深度进行估测”的方法．他采用的方法是：利用一块平整地面上的积雪，用脚竖直向下踩在雪上，形成一个向下凹的脚印．然后通过测量积雪原来的厚度H，用脚踩后在雪上形成脚印的深度h，就可以估测雪的密度．请通过推导得出雪的密度的计算表达式．
（2）大雪过后，会造成路面积雪和积水，危及交通安全．为了尽快消除路面积水，可以通过撒盐和铺设防滑物以及组织扫雪等措施．下表反映的是盐的浓度与凝固温度之间的关系，利用这一表格，请你估计当桥面上积水的厚度达到2cm，环境温度为-3°C时，撒盐车应在每平方米的冰面上撒多少盐才能去除桥面上的积水？

盐的浓度（%）	0	5	10	15	20
凝固温度（°C）	0	-3	-7.5	-12	-17

（3）雪地车在松软的雪地上行驶时，所受阻力主要源于履带或车轮与雪层的挤压．某型号的履带式雪地车的每根履带宽为d，空载时与雪地接触的压强为p₀．
（a）当雪地车以速度v在雪地上匀速行驶时，在雪层上造成的雪沟深度为h．试估算此时雪地车克服雪层阻力做功的功率P．
（b）假设雪地车挤压雪层形成的雪沟深度与压强成正比．当雪地车所载货物的重力为雪地车空载时自重的1/4，则仍以功率P在雪地上匀速行驶时的速度为多大？

Answer 1

分析：（1）雪被踩前后，质量和脚印的面积是不变的．已知雪的深度和脚印的深度，可以知道踩实后的冰的深度；根据雪的深度、冰的深度和脚印的深度，可以得到雪和冰的体积；雪和冰质量不变，根据m=ρV得到雪和冰密度、体积等量关系式，最后得出雪的密度表达式．
（2）已知冰雪的凝固温度和对应的盐水浓度，只要得出此时每平方米水的质量就能得出需要的食盐的质量．
（3）（a）已知雪地车在雪地上的速度，可以知道在一定时间内行驶的距离；已知履带的宽度和行驶的距离，可以知道雪地车碾过雪地的面积；已知雪地车对雪地的压强和碾过雪地的面积，可以得到雪地车对雪地的压力；已知对雪地的压力和雪沟深度，可以得到雪地车对雪地所做的功；最后利用P=

W

t

得出克服雪地阻力的功率．
（b）在车轮与雪地接触面积一定时，雪地车对雪地的压强与物重成正比，所以压强增大的程度与车重增加的程度相同；根据前后两次功率一定列出方程，就能得出此时的速度．

解答：解：
（1）雪被踩后成为冰，密度是0.9g/cm³
设脚印的面积为S，则
雪的体积V_雪=SH，冰的体积V_冰=S（H-h）
根据密度公式ρ=

m

V

得

ρ雪

ρ冰

=

V冰

V雪

=

H-h

H

∴ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

（2）由表格知：-3°C时应撒盐的浓度为5%，
设每平方米的水的质量为m，则有
m=ρ_水V_水=1000kg/m³×1m²×0.02m=20kg
所以撒盐的质量为m_盐=20kg×5%=1kg
（3）
（a）设雪地车在雪地行驶的时间为t
则t时间内前进的距离L=vt
压下雪的面积S=L2d=2vtd
压力做功W=Fh=pSh=p₀×2vtd×h=2p₀vtdh
∴功率P=

W

t

=

2P0vtdh

t

=2p₀vdh
（b）已知重力增加

1

4

，所以雪地车对雪地的压强增大

1

4

，
雪地车克服雪地阻力的功率一定
设此时雪地车行驶的速度为v′
根据题意得 2p₀vdh=2（p₀+

P0

4

）v'

5

4

h
解得v'=

16v

25

．
答：
（1）雪的密度表达式为ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

；
（2）每平方米需撒盐1kg；
（3）（a）雪地车克服阻力的功率为2dp₀hv；
（b）雪地车仍以功率P在雪地上匀速行驶时的速度为

16v

25

．

点评：此题是力学中的一道综合题，难度很大．解决的关键是在掌握基本物理规律的基础上找准等量关系，综合应用比例法、方程法．