题目内容

如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=4，OB=2，反比例函数 $数学公式$ 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移______个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
（3）在（2）的情况下，连结AO并延长它，交反比例函数的图象于点Q，点P是x轴上的一个动点（不与点O、B重合），
①当点P的坐标为多少时，四边形ABQP是矩形？请说明理由．
②过点A作AF⊥x轴于点F，问：当点P的坐标为多少时，△PAF与△OAF相似？（直接写出答案）

解：（1）如图1所示，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠AOB=∠BEC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=2，
∴OE=OB+BE=6，
∴点C的坐标为（6，2）．
将C（6，2）代入y= $\text{[math]}$ ，得 2= $\text{[math]}$ ，解得 k=12，
∴反比例函数的关系式为y= $\text{[math]}$ ；

（2）∵A（0，4），
∴OA=4，
当y=4时，x= $\text{[math]}$ =3，
∴将正方形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
故答案为：3；

（3）①当点P的坐标为（-5，0）时，四边形ABQP是矩形．
理由如下：
∵由（2）知A（3，4），B（5，0），双曲线上各点关于原点对称，
∴点A与点Q关于原点对称，
∴Q（-3，-4），
∴AO=AQ= $\text{[math]}$ =5，
又∵PO=OB=5，
∴四边形ABQP是平行四边形，
又∵PB=AQ=10，
∴四边形ABQP是矩形；
②∵A（3，4），F（3，0），
∴OA=5，
设P（x，0），
当△AOF∽△PAF时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x=- $\text{[math]}$ 或x= $\text{[math]}$ ，
∴P（- $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）；
当△AOF∽△APF时，
∵AF=AF，
∴OF=PF，
∴P（6，0），
故点P的坐标为（- $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）或（6，0）．
分析：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC，再由全等三角形的性质可求出OE的长，进而得出C点坐标．把点坐标代入反比例函数y= $\text{[math]}$ 即可得出其解析式；
（2）根据A（0，4）可知OA=4，再把y=4代入反比例函数的解析式求出x的值即可；
（3）①先根据点A与点Q关于原点对称，再根据勾股定理求出AQ的长，由矩形的对角线相等即可得出P点坐标；
②设P（x，0），再根据△AOF∽△PAF与△AOF∽△APF两种情况进行分类讨论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等相关知识是解答此题的关键．