题目内容
(2009•无锡一模)已知:如图,抛物线y=x2+bx+c交y轴于点C,过抛物线上一点A(-3,-)作AM∥x轴,交抛物线于点B,交y轴于点M,连接AC、BC.(1)若S△ABC=2S△BMC,求这条抛物线对应的函数关系式;
(2)若P为(1)中的抛物线上的任一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,问:是否存在这样的点P,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)根据等高三角形的面积比等于底边比可得出AB=2BM,即AM=3BM,由此可得出B点的坐标为(-1,-),然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出这个二次函数的解析式.
(2)若使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,必须满足的条件是AB平行且相等于PQ,因此PQ=AB=2,即P点的横坐标的绝对值为2,然后将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的值.
解答:解:(1)∵S△ABC=2S△BMC
∴AB=2BM
∴AB=AM=×3=2
∴B(-1,-)
把A、B点的坐标代入y=x2+bx+c,得:,
解得,
∴y=x2+2x-2.
(2)∵AB⊥y轴,PQ⊥y轴
∴AB∥PQ
∵AB、PQ为顶点的四边形是平行四边形.
∴PQ=AB=2
令x=2,y=y=×22+2×2-2=4
∴P1(2,4)
令x=-2,y=y=×(-2)2+2×(-2)+-4
∴P2(-2,-4).
点评:本题考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、平行四边形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
(2)若使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,必须满足的条件是AB平行且相等于PQ,因此PQ=AB=2,即P点的横坐标的绝对值为2,然后将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的值.
解答:解:(1)∵S△ABC=2S△BMC
∴AB=2BM
∴AB=AM=×3=2
∴B(-1,-)
把A、B点的坐标代入y=x2+bx+c,得:,
解得,
∴y=x2+2x-2.
(2)∵AB⊥y轴,PQ⊥y轴
∴AB∥PQ
∵AB、PQ为顶点的四边形是平行四边形.
∴PQ=AB=2
令x=2,y=y=×22+2×2-2=4
∴P1(2,4)
令x=-2,y=y=×(-2)2+2×(-2)+-4
∴P2(-2,-4).
点评:本题考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、平行四边形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
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