Question

【题目】如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证：是定值.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）DG不变；DG＝1；（3）见详解.

【解析】

（1）连接OC，容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG=GH=HE可以知道四边形CHOG的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；

（2）由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE=OC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变；

（3）过C作CN⊥DE于N，设CD=x，然后利用三角形的面积公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理就可以求出CD2+3CH2的值了．

（1）连结OC，交DE于M，

∵四边形ODCE是矩形

∴OM＝CM，EM＝DM

又∵DG=HE

∴EM－EH＝DM－DG，即HM＝GM

∴四边形OGCH是平行四边形

（2）DG不变；

在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1

（3）作HF⊥CD于点F，则△DHF∽△DEC

∴

∴

∴

∵HF2=CH2－CF2=DH2－DF2，DH=2

∴CH2－=2－

整理，得

∴=12