题目内容
9、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E、F、G．求证：PE+PF=BG．分析：过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF=HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，所以PE+PF=BG．
解答：
证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，（1分）
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，（1分）
∴∠BPH=∠C，（1分）
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，（1分）
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）（2分）
∴PE=BH，（1分）
∴PE+PF=BH+HG=BG．（1分）
证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，（1分）∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，（1分）
∴∠BPH=∠C，（1分）
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，（1分）
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）（2分）
∴PE=BH，（1分）
∴PE+PF=BH+HG=BG．（1分）
点评：本题利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．
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