Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC=CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求证：AE=CE；
（3）求证：AC²=AE•AF．

Answer 1

分析：（1）由于AB是直径，因此∠ACB应该是个直角．
（2）可根据等角对等边来求证．由于BA垂直平分CG，那么弧AC=弧AG，又已知了AC=CF，即弧AC=弧CF，因此弧CF=弧AG，即∠ACG=∠FAC，也就得出了AE=CE．
（3）本题实际求的是△AEC和△AFC相似，已知了一个公共角，又由（2）中得出的弧AC=弧CF=弧AG，那么∠F=∠ACE，因此两三角形就相似了．由此可得出所求的比例关系式．

解答：（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．

（2）证明：连接AG，∵AB为直径，且AB⊥CG，
∴AC=AG，
又∵AC=CF，
∴AG=CF，
∴∠ACG=∠CAF，
∴AE=CE．

（3）证明：连接CF，
由（2）可知：AG=AC，
∴∠ACE=∠AFC
又∵∠CAE=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，
∴

AC

AE

=

AF

AC

，
∴AC²=AE•AF．

点评：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．根据圆周角得出相关的角相等是本题的解题关键．