题目内容

【题目】如图1,∠AOB90°,OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE90°,交OA于点DOB于点E

1)求证:CDCE

2)图1中,若OC3,求OD+OE的长;

3)如图2,∠AOB120°,OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE60°,交OA于点DOB于点E.若OC3,求四边形OECD的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)

【解析】

1)过点CCGOAGCHOBH,证明△CDG≌△CEH,可得结论;

2)由(1)可得DGHE,设OHCHx,在RtOCH中,由勾股定理求出OH,则ODOE2OH

3)过点CCGOAGCHOBH,可得∠CDG=∠CEO,证明△CDG≌△CEH,可得DGHE,求出OHCH,根据S四边形OECD2SOCG可求出答案.

1)证明:如图1,过点CCGOAGCHOBH

OC平分AOB

CGCH

∵∠AOB90°DCE90°

∴∠CDO+∠CEO180°

∵∠CDG+∠CDO180°

∴∠CDGCEO

CDGCEH

∴△CDG≌△CEHAAS),

CDCE

2)解:由(1)得CDG≌△CEH

DGHE

OCGOCH是全等的等腰直角三角形,且OGOH

OD+OEOD+OH+HEOG+OH2OH

OHCHx,在Rt△OCH中,由勾股定理,得:

OH2+CH2OC2

x2+x232

(舍负)

OH

OD+OE2OH

3)解:如图,过点CCGOAGCHOBH

OC平分AOB

CGCH

∵∠AOB120°DCE60°

∴∠CDO+∠CEO180°

∵∠CDG+∠CDO180°

∴∠CDGCEO

CDGCEH

∴△CDG≌△CEHAAS),

DGHE

OC平分AOBCGOA CHOB

OCGOCH是全等的直角三角形,且OGOH

OD+OEOD+OH+HEOG+OH2OH

S四边形OECDS四边形OHCG2SOCG

Rt△OCH中,有COH60°OC3

OHCH

S四边形OECD2SOCG

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